Действительные числа, изображение на числовой оси. Действительные числа, изображение на числовой оси Свойства абсолютных величин

Осью называется прямая, на которой одно из двух возможных направлений выделено как положительное (противоположное направление считается отрицательным). Положительное направление обозначается обычно стрелкой. Числовой (или координатной) осью называется ось, на которой выбрана начальная точка (или начало) О и единица масштаба или масштабный отрезок ОЕ (рис. 1).

Таким образом, числовая ось задается указанием на прямой направления, начала и масштаба.

С помощью точек числовой оси изображают действительные числа. Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием масштабного отрезка нужное число раз вправо от начала О в случае положительного целого числа и влево в случае отрицательного. Нуль изображается начальной точкой О (сама буква О напоминает о нуле; она является первой буквой слова origo, означающего «начало»). Дробные (рациональные) числа также просто изображаются точками оси; например, чтобы построить точку, соответствующую числу , следует отложить влево от О три масштабных отрезка и еще одну третью часть масштабного отрезка (точка А на рис. 1). Кроме точки А на рис. 1 показаны еще точки В, С, D, изображающие соответственно числа -2; 3/2; 4.

Целых чисел имеется бесконечное множество, но на числовой оси целые числа изображаются точками, расположенными «редко», целочисленные точки оси отстоят от соседних на единицу масштаба. Рациональные точки расположены на оси весьма «густо» - нетрудно показать, что на любом сколь угодно малом участке оси имеется бесконечно много точек, изображающих рациональные числа. Тем не менее на числовой оси имеются точки, которые не являются изображениями рациональных чисел. Так, если на числовой оси построить отрезок ОА, равный гипотенузе ОС прямоугольного треугольника ОЕС с катетами , то длина этого отрезка (по теореме Пифагора, п. 216) окажется равной и точка А не будет изображением рационального числа.

Исторически именно факт существования отрезков, длины которых не могут быть выражены числом (рациональным числом!), привел к введению иррациональных чисел.

Введение иррациональных чисел, которые в совокупности с рациональными образуют множество всех действительных чисел, приводит к тому, что каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число, изображением которого она служит. Напротив, каждое действительное число изображается вполне определенной точкой числовой оси. Между действительными числами и точками числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Поскольку мы числовую ось мыслим как непрерывную линию, а точки ее находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, то мы говорим о свойстве непрерывности множества действительных чисел (п. 6).

Заметим еще, что в некотором смысле (мы его не уточняем) иррациональных чисел несравненно больше, чем рациональных.

Число, изображением которого служит данная точка А числовой оси, называется координатой этой точки; тот факт, что а - координата точки А, записывают так: А (а). Координата любой точки А выражается как отношение ОА/ОЕ отрезка ОА к масштабному отрезку ОЕ, которому для точек, лежащих от начала О в отрицательном направлении, приписывают знак минус.

Введем теперь прямоугольные декартовы координаты на плоскости. Возьмем две взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и равные масштабные отрезки (на практике часто применяют и координатные оси с различными масштабными единицами). Скажем, что эти оси (рис. 3) образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Точка О называется началом координат, оси Ох и Оу - осями координат (ось Ох называют осью абсцисс, ось Оу - осью ординат). На рис. 3, как обычно, ось абсцисс расположена горизонтально, ось ординат - вертикально. Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел - координат этой точки относительно данной координатной системы. Именно, возьмем прямоугольные проекции точки М на оси Ох и Оу, соответствующие точки на осях Ох, Оу обозначены на рис. 3 через

Точка имеет, как точка числовой оси координату (абсциссу) х, точка как точка числовой оси координату (ординату) у. Эти два числа у (записанные в указанном порядке) и называются координатами точки М.

При этом пишут: (х, у).

Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие упорядоченная пара действительных чисел (х, у) - декартовы прямоугольные координаты этой точки. Термин «упорядоченная пара» указывает на то, что следует различать первое число пары - абсциссу и второе - ординату. Напротив, каждая пара чисел (х, у) определяет единственную точку М, для которой х служит абсциссой, а у - ординатой. Задание в плоскости прямоугольной декартовой системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре части, четыре квадранта. Квадранты нумеруются, как показано на рис. 3, римскими цифрами.

Знаки координат точки зависят от того, в каком квадранте она лежит, как указано в следующей таблице:

Точки, лежащие на оси имеют ординату у, равную нулю, точки на оси Оу - абсциссу равную нулю. Обе координаты начала О равны нулю: .

Пример 1. Построить на плоскости точки

Решение дается на рис. 4.

Если известны координаты некоторой точки то легко указать координаты точек, симметричных с ней относительно осей Ох, Оу и начала координат: точка, симметричная с М относительно оси Ох, будет иметь координаты точка, симметричная с М относительно координаты наконец, у точки, симметричной с М относительно начала, координаты будут (-х, -у).

Можно также указать связь между координатами пары точек, симметричных относительно биссектрисы координатных углов (рис. 5); если одна из этих точек М имеет координаты х и у, то у второй абсцисса равна ординате первой точки, а ордината - абсциссе первой точки.

Иначе говоря, координаты точки N, симметричной с М относительно биссектрисы координатных углов, будут Для доказательства этого положения рассмотрим прямоугольные треугольники О AM и OBN. Они расположены симметрично относительно биссектрисы координатного угла и потому равны. Сравнивая их соответственные катеты, убедимся в правильности нашего утверждения.

Систему декартовых прямоугольных координат можно преобразовать с помощью переноса ее начала О в новую точку О без изменения направления осей и величины масштабного отрезка. На рис. 6 показаны одновременно две системы координат: «старая» с началом О и «новая» с началом О. Произвольная точка М имеет теперь две пары координат, одну относительно старой координатной системы, другую относительно новой. Если координаты нового начала в старой системе обозначены через , то связь между старыми координатами точки М и ее новыми координатами (х, у) выразится формулами

Эти формулы называют формулами переноса системы координат; при их выводе по рис. 6 выбрано самое удобное положение точки М, лежащей в первом квадранте как старой, так и новой системы.

Можно убедиться, что формулы (8.1) остаются верны при любом расположении точки М.

Положение точки М на плоскости может быть задано не только ее декартовыми прямоугольными координатами у, но и другими способами. Соединим, например, точку М с началом О (рис. 7) и рассмотрим следующие два числа: длину отрезка и угол наклона этого отрезка к положительному направлению оси угол определяется как угол, на который надо повернуть ось до ее совмещения с ОМ, и считается положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, как это принято в тригонометрии Отрезок называется полярным радиусом точки М, угол полярным углом, пара чисел - полярными координатами точки М. Как видно, для определения полярных координат точки требуется задание только одной координатной оси Ох (называемой в этом случае полярной осью). Удобно, однако, рассматривать одновременно и полярные и декартовы прямоугольные координаты, как это сделано на рис. 7.

Полярный угол точки определяется заданием точки неоднозначно: если - один из полярных углов точки, то и всякий угол

будет ее полярным углом. Задание полярного радиуса и угла определяет положение точки единственным образом. Начало О (называемое полюсом полярной системы координат) имеет радиус, равный нулю, никакого определенного полярного угла точке О не приписывается.

Между декартовыми и полярными координатами точки имеются следующие соотношения:

непосредственно вытекающие из определения тригонометрических функций (п. 97). Эти соотношения позволяют находить декартовы координаты по заданным полярным. Следующие формулы:

позволяют решать обратную задачу: по данным декартовым координатам точки находить ее полярные координаты.

При этом по значению (или ) можно найти два возможных значения угла в пределах первого круга; по знаку соэф выбирается одно из них. Можно также определять угол по его тангенсу: , но и в этом случае четверть, в которой лежит уточняется по знаку соэф или .

Точка, заданная своими полярными координатами, строится (без вычисления декартовых координат) по своему полярному углу и радиусу.

Пример 2. Найти декартовы координаты точек .

Определение 1. Числовой осью называется прямая с выбранным на ней началом отсчёта, масштабом и направлением.

Теорема 1. Между точками числовой оси и действительными числами существует одно-однозначное соответствие (биекция).

Необходимость. Покажем, что каждой точке числовой оси соответствует действительное число. Для этого отложим масштабный отрезок единичной длины

раз так, что точка будет лежать левее точки, а точка
уже правее. Далее отрезок
поделим на
частей и отложим отрезок ираз так, что точкабудет лежать левее точки, а точка
уже правее. Таким образом, на каждом этапе число
,
… Если эта процедура закончится на каком-то этапе, мы получим число
(координату точкина числовой оси). Если нет, то назовём левую границу любого интервала «числомс недостатком», а правую – «числомс избытком», или «приближением числас недостатком или избытком», а само числобудет бесконечной непериодической (почему?) десятичной дробью. Можно показать, что все операции с рациональными приближениями иррационального числаопределяются однозначно.

Достаточность. Покажем, что любому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. 

Определение 2. Если
, то числовой промежуток
называют сегментом , если
, то числовой промежутокназывают интервалом , если
, то числовой промежуток
называют полуинтервалом .

О
пределение 3. Если в сегмент
вложены сегментытак, что
, а
, то такая система называется СВС (системой вложенных сегментов ).

Определение 4. Говорят, что

(длина сегмента
стремится к нулю , при условии, что
), если.

Определение 5. СВС, у которой
называется ССС (системой стягивающих сегментов).

Аксиома Кантора-Дедекинда: В любой СВС существует хоть одна точка, принадлежащая всем им сразу.

Так как рациональные приближения числа можно изобразить системой стягивающихся сегментов, то рациональному числубудет соответствовать единственная точка числовой оси, если в системе стягивающих сегментов будет единственная точка, принадлежащая всем им сразу (теорема Кантора ). Покажем это от противного.

. Пусть идве такие точки, причём
,
. Т
ак как,
, то
. Но, с другой стороны,
, а, т.е. начиная с некоторого номера
,
будет меньше любой константы. Это противоречие и доказывает требуемое. ■

Таким образом, мы показали, что числовая ось непрерывна (не имеет «дырок») и больше никаких чисел на ней разместить нельзя. Однако, мы по-прежнему не умеем извлекать корни из любых действительных чисел (в частности из отрицательных) и не умеем решать уравнения типа
. В п.5 мы займемся решением этой проблемы.

3. 4. Теория граней

Определение 1. Множество
ограничено сверху (снизу ), если существует число , такое что
. Числоназывается верхней (нижней ) гранью .

Определение 2. Множество ограниченно , если оно ограниченно и сверху, и снизу.

Определение 3. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества действительных чисел
называется:

(т.е. – одна из верхних граней);

(т.е. – несдвигаемая).

Замечание. Точная верхняя грань (ТВГ) числового множества
обозначается
(от лат.supremum - самый малый из больших).

Замечание. Соответствующее определение для ТНГ (точной нижней грани ) дать самостоятельно. ТНГ числового множества
обозначается
(от лат.infinum - наибольший из меньших).

Замечание. может принадлежать
, а может, и нет. Числоесть ТВГ множества отрицательных действительных чисел, и ТНГ множества положительных действительных чисел, но не принадлежит ни тем, ни другим. Числоесть ТНГ множества натуральных чисел и относится к ним.

Возникает вопрос: любое ли ограниченное множество имеет точные границы и сколько их?

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную ТВГ. (аналогично теорему для ТНГ сформулировать и доказать самостоятельно).

Конструкция. Множество
непустое, ограниченное сверху множество действительных чисел. Тогда
и
. Разделим отрезок

п
ополам и назовём отрезком
тот из них, который обладает следующими свойствами:

отрезок
содержит хоть одну точку
. (например, точку);

всё множество
лежит левее точки, т.е.
.

Продолжив эту процедуру, получим ССС
. Таким образом, по теореме Кантора существует и единственна точка, принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что
.

Покажем, что
(т.е.– одна из граней). Предположим противное, что
. Так как
, то
как только
,
, т.е.
, т.е.
. По правилу выбора точек
, точкавсегда левее, т.е.
, следовательно, и
. Новыбирается так, что все
, а
, т.е. и
. Это противоречие доказывает эту часть теоремы.

Покажем несдвигаемость , т.е.
. Зафиксируем
и найдём номер. В соответствии
с правилом 1 выбора отрезков. Мы только что показали, что
, т.е.
, или
. Таким образом
, или
. ■

Мы уже знаем, что множество действительных чисел $R$ образуют рациональные и иррациональные числа .

Рациональные числа всегда можно представить в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных периодических).

Иррациональные числа записываются в виде бесконечных, но непериодических десятичных дробей.

Ко множеству действительных чисел $R$ принадлежат также элементы $-\infty $ и $+\infty $, для которых выполняются неравенства $-\infty

Рассмотрим способы представления действительных чисел.

Обычные дроби

Обычные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной дробной черты. Дробная черта фактически заменяет знак деления. Число под чертой - это знаменатель дроби (делитель), число над чертой - числитель (делимое).

Определение

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. И наоборот, дробь называется неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.

Для обычных дробей существуют простые, практически очевидные, правила сравнения ($m$,$n$,$p$ - натуральные числа):

1. из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, то есть $\frac{m}{p} >\frac{n}{p} $ при $m>n$;
2. из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, то есть $\frac{p}{m} >\frac{p}{n} $ при $ m
3. правильная дробь всегда меньше единицы; неправильная дробь всегда больше единицы; дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице;
4. любая неправильная дробь больше любой правильной.

Десятичные числа

Запись десятичного числа (десятичной дроби) имеет вид: целая часть, десятичная запятая, дробная часть. Десятичную запись обычной дроби можно получить, выполнив деление "углом" числителя на знаменатель. При этом может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Определение

Цифры дробной части называют десятичными знаками. При этом первый разряд после запятой называют разрядом десятых, второй - разрядом сотых, третий - разрядом тысячных и т.д.

Пример 1

Определяем значение десятичного числа 3,74. Получаем: $3,74=3+\frac{7}{10} +\frac{4}{100} $.

Десятичное число можно округлить. При этом следует указать разряд, до которого выполняется округление.

Правило округления состоит в следующем:

1. все цифры правее данного разряда заменяют нулями (если эти цифры находятся до запятой) или отбрасывают (если эти цифры находятся после запятой);
2. если первая цифра, следующая за данным разрядом, меньше 5, то цифру данного разряда не меняют;
3. если первая цифра, следующая за данным разрядом, 5 и более, то цифру данного разряда увеличивают на единицу.

Пример 2

1. Округлим число 17302 до тысяч: 17000.
2. Округлим число 17378 до сотен: 17400.
3. Округлим число 17378,45 до десятков: 17380.
4. Округлим число 378,91434 до сотых: 378,91.
5. Округлим число 378,91534 до сотых: 378,92.

Преобразование десятичного числа в обычную дробь.

Случай 1

Десятичное число представляет собой конечную десятичную дробь.

Способ преобразования демонстрирует следующий пример.

Пример 2

Имеем: $3,74=3+\frac{7}{10} +\frac{4}{100} $.

Приводим к общему знаменателю и получаем:

Дробь можно сократить: $3,74=\frac{374}{100} =\frac{187}{50} $.

Случай 2

Десятичное число представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь.

Способ преобразования основан на том, что периодическую часть периодической десятичной дроби можно рассматривать как сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Пример 4

$0,\left(74\right)=\frac{74}{100} +\frac{74}{10000} +\frac{74}{1000000} +\ldots $. Первый член прогрессии $a=0,74$, знаменатель прогрессии $q=0,01$.

Пример 5

$0,5\left(8\right)=\frac{5}{10} +\frac{8}{100} +\frac{8}{1000} +\frac{8}{10000} +\ldots $. Первый член прогрессии $a=0,08$, знаменатель прогрессии $q=0,1$.

Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $s=\frac{a}{1-q} $, где $a$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии $ \left (0

Пример 6

Переведем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,\left(72\right)$ в обычную.

Первый член прогрессии $a=0,72$, знаменатель прогрессии $q=0,01$. Получаем: $s=\frac{a}{1-q} =\frac{0,72}{1-0,01} =\frac{0,72}{0,99} =\frac{72}{99} =\frac{8}{11} $. Таким образом, $0,\left(72\right)=\frac{8}{11} $.

Пример 7

Переведем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,5\left(3\right)$ в обычную.

Первый член прогрессии $a=0,03$, знаменатель прогрессии $q=0,1$. Получаем: $s=\frac{a}{1-q} =\frac{0,03}{1-0,1} =\frac{0,03}{0,9} =\frac{3}{90} =\frac{1}{30} $.

Таким образом, $0,5\left(3\right)=\frac{5}{10} +\frac{1}{30} =\frac{5\cdot 3}{10\cdot 3} +\frac{1}{30} =\frac{15}{30} +\frac{1}{30} =\frac{16}{30} =\frac{8}{15} $.

Действительные числа можно изображать точками числовой оси.

При этом числовой осью мы называем бесконечную прямую, на которой выбрано начало отсчета (точка $O$), положительное направление (указывается стрелкой) и масштаб (для отображения значений).

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждой точке соответствует единственное число и, наоборот, каждому числу соответствует единственная точка. Следовательно, множество действительных чисел является непрерывным и бесконечным так же, как непрерывна и бесконечна числовая ось.

Некоторые подмножества множества действительных чисел называют числовыми промежутками. Элементами числового промежутка являются числа $x\in R$, удовлетворяющие определенному неравенству. Пусть $a\in R$, $b\in R$ и $a\le b$. В этом случае разновидности промежутков могут быть такими:

1. Интервал $\left(a,\; b\right)$. При этом $ a
2. Отрезок $\left$. При этом $a\le x\le b$.
3. Полуотрезки или полуинтервалы $\left$. При этом $ a \le x
4. Бесконечные промежутки, например, $a

Важное значение имеет также разновидность промежутка, называемая окрестностью точки. Окрестность данной точки $x_{0} \in R$ -- это произвольный интервал $\left(a,\; b\right)$, содержащий эту точку внутри себя, то есть $a 0$ - його радіусом.

Абсолютная величина числа

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа $x$называется неотрицательное действительное число $\left|x\right|$, определяемое по формуле: $\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c} {\; \; x\; \; {\rm при}\; \; x\ge 0} \\ {-x\; \; {\rm при}\; \; x

Геометрически $\left|x\right|$ означает расстояние между точками $x$ и 0 на числовой оси.

Свойства абсолютных величин:

1. из определения следует, что $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. для модуля суммы и для модуля разности двух чисел справедливы неравенства $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, а также $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$,$\left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. для модуля произведения и модуля частного двух чисел справедливы равенства $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ и $\left|\frac{x}{y} \right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|} $.

На основании определения абсолютной величины для произвольного числа $a>0$ можно также установить равносильность следующих пар неравенств:

1. если $ \left|x\right|
2. если $\left|x\right|\le a$, то $-a\le x\le a$;
3. если $\left|x\right|>a$, то или $xa$;
4. если $\left|x\right|\ge a$, то или $x\le -a$, или $x\ge a$.

Пример 8

Решить неравенство $\left|2\cdot x+1\right|

Данное неравенство равносильно неравенствам $-7

Отсюда получаем: $-8

2 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Изучение темы начать с решения задач на повторение из главы 1

§ 4. НЕРАВЕНСТВА

Числовые неравенства и их свойства

175. Поставить знак неравенства между числами а и b , если известно, что:
1) (а - b ) - положительное число;
2) (а - b ) - отрицательное число;
3) (а - b ) - число неотрицательное.

176. х , если:
1) х > 0; 2) х < 0; 3) 1 < х ; 4) х > -3,2?

177. Записать при помощи знаков неравенства, что:
1) х - положительное число;
2) у -отрицательное число;
3) | а | - число неотрицательное;
4) среднее арифметическое двух положительных чисел а и b не меньше их среднего геометрического;
5) абсолютная величина суммы двух рациональных чисел а и b не больше суммы абсолютных величин слагаемых.

178. Что можно сказать о знаках чисел а и b , если:

1) а b > 0; 2) a / b > 0; 3) а b < 0; 4) a / b < 0?

179. 1) Расположить следующие числа в порядке возрастания, соединив их знаком неравенства: 0; -5; 2. Как прочитать эту запись?

2) Расположить следующие числа в порядке убывания, соединив их знаком неравенства: -10; 0,1;- 2 / 3 . Как прочитать эту запись?

180. Выписать в порядке возрастания все трехзначные числа, каждое из которых содержит цифры 2; 0; 5, и соединить их знаком неравенства.

181. 1) При однократном измерении некоторой длины l нашли, что она больше 217 см, но меньше 218 см.. Записать результат измерения, взяв эти числа в качестве границ значения длины l .

2) При взвешивании предмета оказалось, что он тяжелее 19,5 Г, но легче 20,0 Г. Записать результат взвешивания с указанием границ.

182. При взвешивании некоторого предмета с точностью до 0,05 кГ получили вес
Р ≈ 26,4 кГ. Указать границы веса этого предмета.

183. Где на числовой оси лежит точка, изображающая число х , если:
1) 3 < х < 10; 2) - 2 < х < 7; 3) - 1 > х > - 6?

184. Найти и указать на числовой оси целые значения х , удовлетворяющие неравенствам.

1) 0,2 < х <4;
2)-3 < х <2;
3) 1 / 2 < х < 5;
4) -1< х <;3.

185. Какое число, кратное 9, заключено между числами 141 и 152? Дать иллюстрацию на числовой оси.

186. Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 103 и меньше 115, причем первое число кратно 13, а второе кратно 3. Привести геометрическую иллюстрацию.

187. Между какими ближайшими целыми числами заключаются правильные дроби? Можно ли указать два целых числа, между которыми заключены все неправильные дроби?

188. Куплено 6 книг по математике, физике и истории. Сколько книг куплено по каждому предмету, если по математике книг куплено больше, чем по истории, а по физике меньше, чем по истории?

189. На уроке алгебры были проверены знания трех учеников. Какую оценку получил каждый ученик, если известно, что первый получил балл больше второго, а второй больше, чем третий, и число баллов, полученных каждым учеником, больше двух?

190. В шахматном турнире лучших результатов добились шахматисты А, В, С и D. Можно ли узнать, какое место занял каждый из участников турнира, если известно, что А набрал больше очков, чем D, а В меньше, чем С?

191. Дано неравенство а > b . Всегда ли a с > b с ? Привести примеры.

192. Дано неравенство а < b . Верно ли неравенство - а > - b ?

193. Можно ли, не изменяя знака неравенства, умножить обе части его на выражение х 2 + 1, где х - любое рациональное число?

194. Умножить обе части неравенства на указанный в скобках множитель.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) х > 2 (х );
4) а < - 1 (а ); 5) b < - 3 (-b ); 6) х -2 > 1 (х ).

195. Привести к целому виду неравенства:

196. Дана функция у = kx , где k у с возрастанием аргумента х , если: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Дана функция у = kx + b , где k =/= 0, b =/= 0. Как изменяются значения функции у с убыванием значений аргумента х , если: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Доказать, что если а > b и с > 0, то a / c > b / c ; если а > b и с < 0, то a / c < b / c .

199. Разделить обе части неравенства на указанные в скобках числа:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) а < - 2а 2 (а );
4) а > а 2 (а ); 5) а 3 > а 2 (-а ).

200. Сложить почленно неравенства:

1) 12 > 11 и 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) а - 2 < 8 + b и 5 - 2а < 2 - b ;
4) х 2 + 1 > 2х и х - 3 < 9 - х 2 .

201. Доказать, что каждая диагональ выпуклого четырехугольника меньше его полупер иметра.

202. Доказать, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы его диагоналей.

203. Вычесть почленно второе неравенство из первого:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2а - 1 > 3b ; 2b > 3.

204. Доказать, что если | х | < а , то - а < х < а .

205. Следующие неравенства записать в виде двойных неравенств:
1) | т |< 1; 2) | х - 2 | < 2.

206. Указать на числовой оси множество всех значений х , удовлетворяющих неравенствам: 1) | х |< 2; 2) | х | < 1; 3) | х | > 3; 4) | х - 1 | < 1.

207. Доказать, что если - а < х < а , то | х | < а .

208. Заменить сокращенной записью двойные неравенства:
1) -2 < а < 2; 2) -1 < 2п < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Приближенное значение длины l = 24,08(±0,01) мм. Установить границы длины l .

210. Пятикратное измерение одного и того же расстояния при помощи метровой линейки дало следующие результаты: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (м). Найти среднее арифметическое результатов измерения с указанием границ абсолютной и относительной погрешностей.

211. При взвешивании груза получено Р = 16,7(±0,4%)кГ. Найти границы веса Р.

212. а ≈ 16,4, относительная погрешность ε = 0,5%. Найти абсолютную погрешность
Δ a и установить границы, между которыми находится приближенное число.

213. Определить границу относительной погрешности приближенного значения каждого из следующих чисел, если приближенное значение взять с указанным количеством верных цифр: 1) 11 / 6 с тремя верными цифрами; 2) √5 с четырьмя верными цифрами.

214. При измерении по карте расстояния между двумя городами нашли, что оно больше 24,4 см, но меньше 24,8 см. Найти действительное расстояние между городами и абсолютную погрешность вычисления, если масштаб карты 1: 2 500 000.

215. Произвести вычисления и определить абсолютную и относительную погрешности результата: х = а + b - с , если а = 7,22 (±0,01); 3,14 < b < 3,17; с = 5,4(±0,05).

216. Перемножить почленно неравенства:

1) 7 > 5 и 3 >2; 2) 3 < 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4) а > 2 и b < -2.

217. Дано неравенство а > b . Всегда ли а 2 > b 2 ? Привести примеры.

218. Если а > b > 0 и п - натуральное число, то ап > b . Доказать.

219. Что больше: (0,3) 20 или (0,1) 10 ?

220. Если а > b > 0 или b < а < 0, то 1 / a < 1 / b . Доказать.

221. Вычислить площадь земельного участка прямоугольной формы длиной 437 м и шириной 162 м, если при измерении длины участка возможна погрешность ±2 м, а при измерении ширины - погрешность ±1 м.