Главная » Ромео и Джульетта » Гипербола и её каноническое уравнение. Задания для самостоятельного решения

Гипербола и её каноническое уравнение. Задания для самостоятельного решения

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).

Рис. 1

Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="15" width="57" style="vertical-align: -4px;">, тогда согласно определению

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

Область значения для первой четверти .

При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="24" width="264" style="vertical-align: -6px;">. Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="28" width="139" style="vertical-align: -12px;">, при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="46" style="vertical-align: 0px;">, тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="46" style="vertical-align: 0px;">. Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="46" style="vertical-align: 0px;">, тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="46" style="vertical-align: 0px;">.

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где

Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

Рис. 2

В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .

Примеры задач на построение гиперболы

Пример 1

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и Задача

Даны фокусы гиперболы и её асимптота . Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:

Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится:

откуда . Теперь находим .

Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:

Ответ

Гипербола и её каноническое уравнение обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).

2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.

Кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

Гипербола,

px - парабола.

Эллипс - геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:

Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки, называются его вершинами. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною). Если а

Гипербола - геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY. Параметр а называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Число

называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые

называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY.

Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a - мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:

Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение

задает параболу, симметричную относительно оси ОY. Парабола

имеет фокус и директрису

Парабола

имеет фокус и директрису

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 - в отрицательную сторону.

Примеры решения задач.

1 .Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что:

а ) расстояние между фокусами 2c=30, а между вершинами 2a=20;б ) вещественная полуось равна 5, эксцентриситет.Решение:

а ) по условию; ; ; ; из соотношений. Ответ: .

б ) по условию; , .

2 . Написать уравнение параболы, зная, что:

а ) парабола проходит через точки (0,0); (3,6) и симметрична относительно оси ОХ,

б ) парабола проходит через точки (0,0); (4,2) и симметрична относительно оси ОY.

Решение: а )

Точка (3,6) лежит на параболе, поэтому, - уравнение директрисы. - уравнение параболы

б ) Точка (4,2) лежит на параболе, поэтому - уравнение директрисы,

Уравнение параболы.

Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка

Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат Oxy уравнение второго порядка общего вида:

Аx 2 + 2Вxy + Сy 2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Оно задаёт кривую второго порядка. Наша цель: поменять систему координат так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол б против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox" и Oy" стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy:

Матрица линейного преобразования: поворот на угол б против часовой стрелки.

Или, наоборот,

A(x"cosб - y"sinб) 2 + 2B(x"cosб - y"sinб)(x"sinб + y"cosб)+C(x"sinб + y"cosб) 2 + 2D(x"cosб - y"sinб) + 2E(x"sinб + y"cosб) + F = 0

Выберем угол б так, чтобы коэффициент при произведении x"y" обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство:

2Acosбsinб + 2B(cos 2 б - sin 2 б) + 2Csinбcosб = 0

В новой системе координат Ox"y" (после поворота на угол б), учитывая, что

уравнение будет иметь вид

А"x" 2 + С"y" 2 + 2D"x" + 2Е"y" + F" = 0,

где коэффициенты А" и С" не равны одновременно нулю.

Следующий этап упрощения заключается в параллельном переносе осей Ox" и Oy" до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата.

Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка. Всего возможны 9 качественно различных случаев (включая случаи вырождения и распадения):

1. (эллипс),

2. (гипербола),
3. px (парабола),

4. (мнимый эллипс),
5. (пара мнимых параллельных прямых),
6. (пара параллельных прямых),
7. (пара совпавших прямых),
8. (точка (пара мнимых пересекающихся прямых)),
9. (пара пересекающихся прямых).

Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами).

Если в общем уравнении кривой 2-го порядка

в частности, В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:

(A и C одновременно). Можно показать, что при этом:1) Если АС > 0 (коэффициенты при квадратах переменных одного знака), то уравнение определяет эллипс;
2) Если АС
3) Если АС = 0 (один из членов с квадратом переменных отсутствует), то этим уравнением определяется парабола.

В каждом из случаев 1), 2), 3) могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем.

Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром:

- это уравнение эллипса с центром и осями, параллельными осям и;

эти уравнения определяют гиперболы с центром и осями, параллельными координатным;

это параболы с вершиной и осью, параллельной одной из координатных.

Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Теорема. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой.

При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая - парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола.

Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.

Из рисунка видно, что, поворачивая секущую плоскость вокруг прямой PQ, мы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса.

Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями .

Глава III. Кривые второго порядка

§ 43. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
в других (неканонических) системах координат

Применим выведенные в § 13 формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой для изучения неканонических уравнений гиперболы, параболы, эллипса.

1) Рассмотрим уравнение

ху = а , а > 0. (1)

Из школьного курса известно, что уравнение (1) называется уравнением гиперболы и имеет график, изображенный на рис. 121.

Посмотрим, каким будет уравнение этой гиперболы в другой системе координат, в системе, которая получается из исходной поворотом базисных векторов на угол α = 45°.

В данном случае старые координаты х и у выражаются через новые х " и у " следующим образом:

Заменяя в уравнении (1) старые переменные новыми, получаем

√ 2 / 2 (х " - у ") √ 2 / 2 (х " + у ") = a

х " 2 - у " 2 = 2а . (2)

Мы получили каноническое уравнение равносторонней гиперболы. Следовательно, уравнение (1) задает равностороннюю гиперболу. Старые оси координат являются асимптотами гиперболы, поэтому уравнение (1) называют уравнением гиперболы, отнесенным к асимптотам (см. рис. 121). Сравнивая уравнения (1) и (2), видим, что действительная ось гиперболы, заданной уравнением (1), равна √2а .

Новая система координат О , i" , j" называется канонической, так как в ней уравнение гиперболы имеет канонический вид.

Уравнение ху = а, а < 0, приводится к каноническому виду аналогично. Для получения новых базисных векторов в этом случае следует повернуть старые базисные векторы на угол α = - 45°.

Задача 1. Дано каноническое уравнение равносторонней гиперболы х 2 - у 2 = 18. Написать ее уравнение, отнесенное к асимптотам.

Выполним поворот на угол α == -45°. Тогда старше координаты выражаются через новые по формулам

Подставив в данное уравнение значения х и у , получим

1 / 2 (х " - у ") 2 - 1 / 2 (х " + у ") 2 = 18

или после упрощения х"у" = 9.

2) Рассмотрим уравнение

y = αx 2 + βx + γ, α =/=0. (3)

Вам хорошо знакомо это уравнение и его график: парабола с осью, параллельной оси ординат. Записав уравнение (3) в виде

(4)

находим координаты вершины параболы

Перейдем к новой системе координат, направления осой которой совпадают с направлениями осей старой системы, а начало координат О" находится в вершине параболы. Точка О" имеет, следовательно, координаты (). Положив в формулах переноса

Так выражаются в данном случае старые координаты x и у через новые х" и у" . Заменяя в уравнении (4) старые координаты новыми, приходим к уравнению

y" = αx " 2 , α =/= 0.

Итак, если парабола в некоторой системе координат имеет уравнение (3), то всегда можно перейти к новой системе координат, в которой уравнение параболы будет иметь более простой вид: y" = αx " 2 , α =/= 0. Более того, всегда можно выбрать систему координат так, чтобы коэффициент в уравнении параболы был положителен. В самом деле, пусть α < 0, т. е. парабола расположена так, как показано на рис. 122.

Тогда в системе О", i", j" , которая получается из системы О", i", j" поворотом осей на угол α = 180°, уравнение параболы будет иметь вид y"" = - αx"" 2 . Полагая α 1 = - α, получаем y"" = α 1 x"" 2 , где α 1 > 0.

3) Пусть в некоторой системе координат парабола задана уравнением

y = αx 2 , α > 0. (5)

Перейдем к новой системе координат, которая получается из исходной поворотом базисных векторов на угол α = 90° (рис. 123).

Формулы поворота в этом случае принимают вид

Применяя в уравнении (5) старые координаты новыми, получаем

х" = αу" 2 или у" 2 = 1 / α х" .

Обозначим 1 / α через 2р , тогда

у" 2 = 2рх" .

Мы получили каноническое уравнение параболы. Таким образом, уравнением (5) задается парабола с фокальным параметром, равным 1 / 2α .

Из результатов, полученных в пункте 2), следует, что фокальный параметр параболы, заданной уравнением y = αx 2 + βx + γ, α =/=0 , равен 1 / 2 |α | .

Задача 2. Дано уравнение параболы y = 2x 2 + 6x + 7.

Привести его к каноническому виду. Найти расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

Выделим полный квадрат в правой части данного уравнения

у = 2(x 2 + 3х ) + 7 = 2(x + 3 / 2) 2 + 5 / 2 .

Координаты вершины параболы (- 3 / 2 ; 5 / 2).

Перейдем к новой системе координат, которая получается из исходной переносом начала координат в точку O" (- 3 / 2 ; 5 / 2) и поворотом базисных векторов на угол α = 90°
(рис. 124).

По формулам (3) § 13 получаем

Подставив эти значения х и у в уравнение параболы, получим

5 / 2 + x" =2(- 3 / 2 - y" + 3 / 2) 2 + 5 / 2

т. e. x" = 2y" 2 , или y" 2 = 1 / 2 x" .

Из полученного уравнения видно, что расстояние от фокуса параболы до директрисы (фокальный параметр) равно 1 / 4 .

4) Рассмотрим уравнение

(6)

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса, но не является таковым, так как в каноническом уравнении эллипса а > b.

Перейдем от системы координат хОу к системе х"Оу" , которая получается из исходной системы поворотом базисных векторов на угол α = 90°. Формулы поворота в этом случае имеют вид

Поэтому в новой системе данное уравнение запишется так:

Мы получили каноническое уравнение эллипса. Следовательно, уравнением (6) задается эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу , малая на оси Ох . Фокусы такого эллипса расположены в точках F 1 (0; с ) и F 2 (0; -с ), где с = √ b 2 - a 2 (рис. 125).

Задача 3. Доказать, что кривая, заданная уравнением

25х 2 + 16y 2 -50х + 64y - 311 = 0,

является эллипсом. Найти его полуоси и координаты фокусов. Дать чертеж.

Преобразуем данное уравнение к виду:

25 (х - 1) 2 + 16 (у + 2) 2 = 400.

Oт системы координат хОу перейдем к системе х"О"у" , сохранив направление осей, а начало координат поместив и точку О" (1; -2). Тогда старые и новые координаты будут связаны формулами переноса

Поэтому в новой системе координат кривая имеет уравнение

25х" 2 + 16у" 2 = 400

Итак, данная кривая является эллипсом, полуоси которого равны 5 и 4. Полуфокусное расстояние с = √25-16 =3. Фокусы эллипса в новой системе имеют координаты (0; 3) и (0; -3). По формулам переноса находим их координаты в старой системе:
(1; 1) и (1; -5). Чертеж дан на рис. 126.

Задача 4. Написать уравнение эллипса, одна ось которого принадлежит оси ординат и равна 12, а другая ось принадлежит оси абсцисс и равна 8.

По условию задачи b = 6, а = 4, следовательно,

Задача 5. Написать уравнение эллипса, одна ось которого принадлежит оси ординат и равна 20, а расстояние между фокусами равно 16. Центр эллипса находится в точке
(0; 0).

Искомое уравнение эллипса можно записать в виде

Так как 2с = 16, 2b = 20, то с = 8, b = 10, а так как фокусы расположены на оси Оу , то
а 2 = b 2 - c 2 = 100 - 64 = 36 .Следовательно, эллипс имеет уравнение