Формула Остроградского-Гаусса. Формула Грина
Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина.
Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная.
Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными ,
Области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.)
L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во.
Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y).
P*dx+Q*dy =U(x.y)
Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф.
Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой.
Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0)
Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.
Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2).
Т. Для того, чтобы кр. Инт.
Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во
Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования
Зам. = отсюда получаем, что
Пов. Инт. 1-го рода.Его св. и выч.
Пусть в точках пов. S С ПЛ. S пространства oxyz опред. Непрерывная ф. f(x,y.z) .
Разобьем пов. S на n частей Si, ПЛ. КАЖДОЙ ЧАСТИ дельта Si, а диаметр Di i=1..m в каждой части Si выберем произвольную точку Mi от (xi, yi, zi) и cоставим сумму . Сумма называется интегральной для ф. f(x,y.z) по поверхности S если при интегр. Сумма имеет предел, то он наз. Пов интегралом 1-го рода от ф. f(x,y.z) по поверхности S и обозначается =
Свойства пов. Инт.
2) 3) S=s1+s2, Тогда 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .
Выч пов инт 1-го рода сводиться к вычисленею2-го инт по обл Д, кот явл проекцией пов S на плоскость oxy, если пов s задана Ур z=z(x,y) то по винт равен .
Если S задано в виде y=y(x, z), то …
Пов инт 2-го рода
Пусть задана двусторонняя пов, после обхода такой пов не пересекая ее границы направление нормали к ней не меняется. Односторонныя пов: является Лист Мебиуса. Пусть в точке рассматриваемой двусторонней поверхности S в прстранстве oxyz определена ф. F(x,y,z). Выбронную сторону поверхности разбиваем на части Si i=1..m и проектируем их на корд плоскости. При этом пл пов ,берем со знаком «+», если выбрана верхняя сторона пов (если нормаль образует острый угол с oz, выб со зн «–» если выбрана нижняя сторона пов(ТУПОЙ УГОЛ)). Составим инт сумму Где – пл пов Si –части при если он сущ и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек в них, наз по инт 2-ого рода от ф. f(x,y,z) по пов s и обозначается: по опред пов интеграл будет = пределу интегр суммы. Аналогично опред инт по пов s
, тогда общим видоим пов инт 2-го рода служит инт где P, Q, R непрерывные функции опред в точках двусторонней пов s. Если S замкнутая пов, то по инт по внешней стороне обозначается и по внутренней стороне . ds. Где ds элемент площади пов S , а cos , cos cos напр cos нармали n. Выбранной стороны пов.
Ограниченному этой поверхностью:
то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T , равен потоку вектора через поверхность S , ограничивающую данный объём.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.
В работе Остроградского формула записана в следующем виде:
где ω и s - дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи ω = d Ω - элемент объёма, s = d S - элемент поверхности. - функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.
Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.
История
Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс ( , гг.) на примере задач электродинамики .
В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году . С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n -кратного интеграла.
За рубежом формула называется формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса-Остроградского».
См. также
Литература
- Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117-122, 29/Х 1828 (1831).
- Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. 1’Acad., 1, стр. 35-58, 24/1 1834 (1838).
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Остроградский
- Её звали Никита (телесериал)
Смотреть что такое "Формула Остроградского" в других словарях:
Остроградского формула
Формула Гаусса-Остроградского - Теорема Остроградского Гаусса утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле… … Википедия
Формула Стокса - Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… … Википедия
Формула Грина - Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия
Формула Лиувилля-Остроградского - Формула Лиувилля Остроградского формула, связывающая определитель Вронского (вронскиан) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении. Пусть есть дифференциальное уравнение вида y(n) + P1(x)y(n − 1) + P2(x)y(n − 2) … Википедия
Формула Лиувилля - Остроградского формула, связывающая определитель Вронского (вронскиан) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении. Пусть есть дифференциальное уравнение вида тогда где определитель Вронского Для линейной… … Википедия
ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА - формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n кратным интегралом по области и (п 1) кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,..., х п).вместе со своими частными производными, i=1, 2 … Математическая энциклопедия
ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА - связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл) по некоторому объему с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем. Предложена М. В. Остроградским (1828 31) … Большой Энциклопедический словарь
Остроградского формула - формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму Q, ограниченному поверхностью S, в интеграл, взятый по этой поверхности: здесь X, Y, Z функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области Ω. О. ф. найдена … Большая советская энциклопедия
Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры.
Пусть функции непрерывны в области D ÌOxy и на ее границе Г ; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина :
здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.
Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г . Если функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г , то имеет место формула Стокса :
(2.23)
слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т , которая остается слева при обходе кривой Г .
Если связная область W ÌOxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т , а функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т , то имеет место формула Остроградского-Гаусса :
(2.24)
слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т ; справа – тройной интеграл по области W .
Пример 1. Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г : , начиная от оси Ox , по часовой стрелке (рис. 2.18).
Решение.
Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P
(x
,y
)=x
-y
, Q
(x
,y
)=x
+y
. Имеем:
,
где S D
– площадь круга D
: , равная . В итоге: – искомая работа силы.
Пример 2. Вычислить интеграл , если Г есть окружность в плоскости z =2, обходимая против часовой стрелки.
Решение.
По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т
:
T
:
Итак, учитывая, что , имеем:
Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D
ÌOxy
, на который проектировался круг Т
; D
: . Перейдем к полярным координатам: x
=r
cosj, y
=r
sinj, jÎ, r
Î. В итоге:
.
Пример 3. Найти поток П Т пирамиды W : (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.
Решение. Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:
Пример 4. Найти поток П векторного поля через полную поверхность T пирамиды W : ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности.
Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды).
,
так как проекция граней на плоскость Oxy
имеет нулевую площадь (рис. 2.21),
Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область D , ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осями не более чем в двух точках, т.е. область D – правильная.
Теорема 10.2. Если функции P (x ; y ) и Q (x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными ив областиD , то имеет место формула
(10.8)
где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).
Формула (10.8) называется формулой Остроградского – Грина.
Пусть
-
уравнение дугиAnB
,
а
- уравнение дугиAmB
(см. рис. 8). Найдем сначала
.По
правилу вычисления двойного интеграла,
имеем:
Или согласно формуле (10.6), Рис. 8.
Аналогично
доказывается, что
(10.10)
Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим формулу (10.8).
Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского – Грина вычислить
где L – контур прямоугольника с вершинами А (3;2 ), В (6;2 ), С (6;4 ), D (3;4 ).
○ Решение:
На
рисунке 9 изображен контур интегрирования.
Поскольку
по
формуле (10.8) имеем:
10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
П
устьA
(x
1 ;
y
1)
и B
(x
2 ;
y
2)
– две произвольные точки односвязной
области D
плоскости Оху
(плоскость D
называется односвязной
,
если для любого замкнутого контура,
лежащего в этой области, ограниченная
им часть плоскости целиком принадлежит
D
(область без «дыр»)). Точки А
и В
можно соединить различными линиями
(на рис. 10 это L
1 ,
L
2
и L
3).
По каждой из этих кривых интеграл
имеет,
вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.
Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A (x 1 ; y 1 ) и его конечную точку B (x 2 ; y 2 ) пути. Записывают:
(10.11)
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?
Теорема 10.3.
Для
того, что бы криволинейный интеграл
не
зависел от пути интегрирования в
односвязной областиD
,
в которой функции P
(x
;
y
),
Q
(x
;
y
)
непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно,
что бы в каждой точке этой области
выполнялось условие=(10.12)
Докажем
достаточность условия (10.12). Рассмотрим
произвольный замкнутый круг AmBnA
(или L
)
в области D
(см. рис. 11). Для него имеет место формула
Остроградского – Грина (10.8) В силу
условия (10.12) имеем:
,
или
.
Учитывая свойства криволинейного
интеграла, имеем:
, т.е.
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.
Рис.11.
В ходе доказательства
теоремы получено, что если выполняется
условие
=,
то интеграл по замкнутому кругу равен
нулю:
Верно и обратное утверждение.
Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функцииu = u (x ; y ), т.е.
Тогда (см. (10.11))
Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие 10.2.
Если подынтегральное выражение Pdx
+
Qdy
есть полный дифференциал и путь
интегрирования L
замкнутый, то
.
Замечания:
В качестве начальной точки (x 0 ; y 0) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).
= ,=,=;
Пример
10.4.
Найти
Решение: Здесь P = y , Q = x , == 1. Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x , дугу параболы y = x 2 и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy) , то
Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функцииU (x ; y ) и найти ее.
Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):
Условия выполнены, следовательно, А так как полный дифференциал имеет вид
,
то верны соотношения
(10.16)
Интегрируем
по х
первое из уравнений, считая у
постоянным, при этом вместо постоянно
интегрирования следует поставить
-
неизвестную функцию зависящую только
оту
:
Подставляя
полученное выражение во второе уравнение
(10.16), найдем
:
Таким образом,
Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15).
Пусть π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки которой также D ). Пусть D удовлетворяет условиям:
1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек;
2) на π можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.
Пусть t - С, согласованный с , т. е. положительное направление обхода кривой С t с направлением t С
Т1 (формула Грина). Пусть а - 1), 2), направлению непрерывна в . Тогда справедлива формула
Справа - циркуляция векторного поля по кривой С , слева - поток векторного поля через D.
Док-во. Все входящие в (1) функции непрерывны => оба интеграла . Интегралы слева и справа в (1) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. и инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора декартовой системы координат => достаточно доказать (1) в какой-то одной специально выбранной системе.
Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы выполнялось условие 2), и Оz направим вдоль . Т.к векторное поле плоское, то =>
Для плоской области и , где l - длина дуги С , выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С =>
Для доказательства формулы Грина достаточно доказать 2 равенства:
Пусть прямая, параллельная оси Оу, пересекает С в точках . Пусть - наименьшая и наибольшая абсциссы точек области , кривая С 1 соединяет с , а кривая С 2 - с и , ориентированы согласованно с C => по формуле сведения двойного интеграла к повторному:
Аналогично вычисляется интеграл J .
З1 . Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1"):
Ох"у"; а имеет координаты Р" и Q ", то
Якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю = 1, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат =>
Пусть D - односвязная область в (т. е. для кусочно гладкой замкнутой кривой C , расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность G , расположенную в D, имеющую границей С ), поверхность S - ее граница, удовлетворяющая условиям:
1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;
2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат прямая, параллельная этой оси, будет пересекать S не более чем в 2 точках.
Пусть n - единичный вектор внешней нормали к S .
Т2 (формула Остроградского - Гаусса ). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что производная по направлению непрерывна в . Тогда
Cправа - поток векторного поля через поверхность S , слева - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D => Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D равен потоку векторного поля через поверхность S - границу этой области.
Док-во Все входящие в (2) функции непрерывны => оба интеграла . Формула (2) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. все входящие в нее величины - инварианты => достаточно доказать (2) при каком-то 1 выборе декартовой системы. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так,чтобы выполнялось условие 2) ; пусть => учитывая :
Надо док-ть:
Докажем для L, другие ан-но. Пусть D"- проекция D на плоскость Оху. Через граничные точки D" проведем прямые, параллельные Оz. Каждая из них пересекается с S лишь в 1 точке. Множество этих точек разделяет S на 2 части: . Если провести прямую из внутренней точки D" , параллельную Оz, то она пересечет S в 2 точках: и . и кусочно и непрерывно дифф-мые функции в D". По формуле сведения тройного интеграла к повторному интегралу:
Воспользовались тем, что , и соотношением
справедливым, т.к. внешняя нормаль к образует тупой угол с Оz (=> ).
З2 . Из док-ва => формулу (2) можно записать:
Док-во ан-но З1.
Формула Стокса.
Пусть S односвязная (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная на S, ограничивает мн-о, все точки которого S ) поверхность в , удовлетворяющая условиям:
1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С ;
2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S однозначно проектировалась на из 3 координатных плоскостей.
Пусть n - единичный вектор нормали к S , t - единичный вектор касательной к C , согласованный с n, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направлением t , и если смотреть с конца , то контур С ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки).
Т (формула Стокса). Пусть а - векторное поле, непрерывно дифф-мое в некоторой окрестности поверхности S (т. е. на некотором открытом мн-ве в , содержащем S). Тогда
Или: Поток вектора через поверхность S равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С.
Док-во . В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют. Формула (1) инвариантна относительно выбора базиса => достаточно доказать при каком-то одном выборе базиса. Выберем прямоугольную декартову систему координат Охуz так, чтобы S однозначно проектировалась на все три координатные плоскости. Пусть
Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нормали образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для в декартовой системе координат
Достаточно доказать:
S - кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху. Пусть D - ее проекция, Г - проекция С на плоскость Оху => дифф-мая ф-я , которая задает уравнение поверхности S . При этом
и поверхностный интеграл по S = двойному интегралу по D . По формуле Грина* :
З1 . δ > 0 такое, что для части Ф S размера < δ (ее можно расположить в сфере радиуса δ/2) можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проектируется на все координатные плоскости. Пусть - фиксированная точка S . Проведем касательную плоскость через ,пусть - вектор единичной нормали поверхности в . Выберем прямоугольную систему координат, чтобы составлял острые углы с осями. Т.к. поле нормалей непрерывно, то окрестность такая, что все нормали в точках этой окрестности образуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ/2 точки , которая однозначно проектируется на все координатные плоскости.
Можно выбрать универсальное, не зависящее от число δ > 0. Пусть такого δ => для каждого можно указать часть поверхности S , размеры которой < и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы координат.
Выберем в каждой точку , из полученной послед-сти выберем послед-сть, сходящуюся к некоторой М S . У М окрестность, однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого номера п содержит часть , которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости => противоречие с выбором .
Разобьем S на конечное число гладких частей , размер каждой из которых < δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плоскости некоторой декартовой системы координат => формула Стокса верна для каждой . Просуммируем левые и правые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сократятся => слева получим интеграл по поверхности от , а справа - интеграл по границе С от , т. е. формулу Стокса для общего случая => формулы Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).
З 2 . Формула Стокса верна для поверхностей S , допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) поверхностей. Док-во: просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кривым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.
З3 . Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1"):
Интегралы слева и справа в (1") инвариантны, т.к. значения подынтегральных выражений равны соответственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1") тоже не меняется при переходе к новой системе Ох"у" z"; если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р" , Q " и R" , то
Якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю = 1, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1") не меняют своего значения и формы.
*: π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π. Пусть D удовлетворяет условиям: 1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.
Пусть t - единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с .
Т1 (формула Грина). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по направлению непрерывна в . Тогда справедлива формула